已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b≠0）是奇函数。（1）求a，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间。

题型：解答题难度：一般来源：北京高考真题

已知函数f（x）=x³+ax²+3bx+c（b≠0）是奇函数。
（1）求a，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间。

答案

解：（1）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R，g（-x）=-g（x），即f（-x）- 2=-f（x）+2
又f（x）=x³+ax²+3bx+c，
所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2
所以
解得a=0，c=2。
（2）由（1）得f（x）=x³+3bx+2
所以f′（x）=3x²+3b（b≠0）
当b＜0时，由f′（x）=0得x=±
x变化时，f′（x）的变化情况如下表：

所以，当b＜0时，函数f （x）在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，
在（，+∞）上单调递增
当b＞0时，f′（x）＞0
所以函数f （x）在（-∞，+∞）上单调递增。