设a＞0，f(x)=是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：同步题

设a＞0，f(x)=是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数．

答案

(1)解：∵f(x)=是R上的偶函数，
∴f(x)-f(-x)=0，
∴，即，，
由于e^x-e^-x不可能恒为0，
∴当=0时，式子恒成立，
又a＞0，∴a=1。
(2)证明：∵由(1)知f(x)=e^x+，在(0，+∞)上任取x₁＜x₂，
，
∵e＞1，
∴，
∴，
∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数．