已知函数f（x）=（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明。

题型：解答题难度：一般来源：0118 期中题

已知函数f（x）=

（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明。

答案

解：（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）=

∴函数f（x）=

为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减

，则

∴

即

所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数。

举一反三

已知函数

，g(x)=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f(1)=2，f(2)＜3，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g(x)在R上是增函数。

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已知y=f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1+x)，当x＜0时，f(x)应该等于 [ ]
A.-x(1-x)
B.x(1-x)
C.-x(1+x)
D.x(1+x)

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设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足

，

，且当x>0时，f（x）>0。
(1)求f（0）的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)如果

，求x的取值范围。

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已知定义在实数集R上的函数y=f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（x）不恒等于零，则y=f（x）是[ ]
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.不能确定

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已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，
若方程f(x)=m(m＜0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x_{4^{=( )}}

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