已知f(x)=在区间[-1,1]上是增函数.(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得
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已知f(x)=在区间[-1,1]上是增函数.(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=
在区间[-1,1]上是增函数.
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=
的两个非零实根为x
1
、x
2
.试问:是否存在实数m,使得不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)A={a|-1≤a≤1}.(Ⅱ){m|m≥2,或m≤-2}.
解析
试题分析:
思路分析:(Ⅰ)根据f(x)在[-1,1]上是增函数,可得到f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x
2
-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.转化成
(x)=x
2
-ax-2,二次函数问题。处理的方法较多。
(Ⅱ)由
从而可以得到x
2
-ax-2=0的两非零实根x
1
,x
2
的关系,将问题转化成
“要使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m
2
+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2
+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立“同样将问题转化成二次函数问题。
解:(Ⅰ)f'(x)=4+2
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x
2
-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设
(x)=x
2
-ax-2,
方法一:
①
-1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
①
或
0≤a≤1或-1≤a<0
-1≤a≤1.
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由
∵△=a
2
+8>0
∴x
1
,x
2
是方程x
2
-ax-2=0的两非零实根,
∴
从而|x
1
-x
2
|=
=
.
∵-1≤a≤1,∴|x
1
-x
2
|=
≤3.
要使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m
2
+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2
+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. ②
设g(t)=m
2
+tm-2=mt+(m
2
-2),
方法一:
②
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
当m=0时,②显然不成立;
当m≠0时,
②
或
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2
+tm+1≥|x
1
-x
2
|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
点评:中档题,本题主要利用“转化与化归思想”,将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题,通过确定函数的最值,达到确定参数范围的目的。
举一反三
函数
的定义域为实数集
,实数
的取值范围为 .
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
设
表示
中的较大值,
表示
中的较小值,记
得最小值为
得最大值为
,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设函数
,其中
,区间
(Ⅰ)求的长度(注:区间
的长度定义为
);
(Ⅱ)给定常数
,当时,求长度的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
如果函数
在区间
上是减少的,那么实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
如果函数
在区间
上是增函数,那么
的取值范围是__________________.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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