已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根. |
答案
见解析 |
解析
本试题主要考查了二次方程根的问题的综合运用。运用反证法思想进行证明。 先反设,然后推理论证,最后退出矛盾。证明:假设三个方程中都没有两个相异实根, 则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0 相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.显然不成立。 证明:假设三个方程中都没有两个相异实根, 则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0. 相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ① 由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. |
举一反三
若关于x的实系数一元二次方程有一个根为,则________ |
二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是( ) |
甲船由岛出发向北偏东的方向作匀速直线航行,速度为海里∕小时,在甲船从岛出发的同时,乙船从岛正南海里处的岛出发,朝北偏东的方向作匀速直线航行,速度为海里∕小时。 ⑴求出发小时时两船相距多少海里? ⑴ 两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? |
若函数与在区间[1,2]上都是减函数,则的取值范围是( ) A.(-1,0) | B.(-1,0)∪(0,1] | C.(0,1) | D.(0,1] |
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(本小题满分14分)函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R). (1)求g(a); (2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值. |
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