已知函数f(x)=x2+2ax-4,a∈R.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f(x)在[1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(3)f(x)在[1,
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2+2ax-4,a∈R. (1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)若f(x)在[1,+∞)上为增函数,求a的取值范围; (3)f(x)在[1,2]内的最小值为g(a),求g(a)的函数表达式. |
答案
(1)∵f(x)=x2+2ax-4,∴若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x), 即x2-2ax-4=x2+2ax-4, ∴-2ax=2ax恒成立,判断得a=0. (2)∵函数f(x)=x2+2ax-4的对称轴为x=-a, ∴要使f(x)在[1,+∞)上为增函数,则-a≤1, ∴a≥-1. (3)f(x)=x2+2ax-4=(x+a)2-4-a2,对称轴为x=-a. ①当-a<1,即a>-1时,f(x)在[1,2]递增, f(x)min=f(1)=2a-3. ②当-a>2,即a<-2时,f(x)在[1,2]递减, f(x)min=f(2)=4a. ③当-2≤a≤-1时, f(x)min=f(-a)=-4-a,. 综上g(x)= | 2a-3,a>-1 | -a2-4,-2≤a≤-1 | 4a,a<-2 |
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举一反三
已知函数f(x)=2x2-mx+5,m∈R,它在(-∞,-3]上单调递减,则m的取值范围为______. |
设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值; (3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),求不等式h(x)≥1的解集. |
若函数y=x2+(a+1)x-1在[-2,2]上单调,则a的范围是( )A.a≥3 | B.a≤-5 | C.a≥3或a≤-5 | D.a>3或a<-5 |
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已知函数f(x)=x2+2ax+2 (1)若a=-1,求函数f(x)在x∈[-5,5]的最大值和最小值 (2)求f(x)在x∈[-5,5]的最小值为-3,求a的值. |
设f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b. (I)求证:函数f(x)与g(x)的图象有两个交点; (Ⅱ)设函数f(x)与g(x)的图象的两个交点A、B在x轴上的射影为A1、B1,求|A1B1|的取值范围. |
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