已知二次函数f(x)=4x2-kx+12.(1)若函数f(x)在区间[5,+∞)是增函数,求常数k的取值范围;(2)若不等式f(x)<4x的解为1<x<3,求常
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=4x2-kx+12. (1)若函数f(x)在区间[5,+∞)是增函数,求常数k的取值范围; (2)若不等式f(x)<4x的解为1<x<3,求常数k的值; (3)若函数f(x)在区间[5,20]上的最大值为12,求常数k的值. |
答案
(1)∵函数f(x)=4x2-kx+12的图象是抛物线,且开口向上,对称轴x=的右侧是增函数,故令≤5,解得k≤40,∴k的取值范围是{k|k≤40}; (2)由f(x)<4x得,4x2-kx+12<4x,整理,得4x2-(k+4)x+12<0,∵该一元二次不等式的解为1<x<3,∴=1+3,∴k=12; (3)∵二次函数f(x)=4x2-kx+12的对称轴是x=,令≤5,得k≤40;即当k≤40时,f(x)在[5,20]上是增函数,在x=20处取得最大值f(20)=12,此时k=80,不适合,舍去; 令≥20,得k≥160;即当k≥160时,f(x)在[5,20]上是减函数,且在x=5处取得最大值f(5)=12,此时k=20,不适合,舍去; 令5≤≤20,得40≤k≤160,此时f(x)在[5,20]上的最大值是f(20)=12,或f(5)=12,解得k=80,或k=20(舍去); 综上,得k=80. |
举一反三
已知函数f(x)=loga(x2-2ax)在[4,5]上为增函数,则a的取值范围是( )A.(1,4) | B.(1,4] | C.(1,2) | D.(1,2] |
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足:f(-+x)=f(--x),且f(x)<2x的解集为(-1,) (1)求f(x)的解析式; (2)设g(x)=f(x)-mx(m∈R),若g(x)在x∈[-1,2]上的最小值为-4,求m的值. |
已知函数f(x)=lg(x2+tx+1) (1)当t=-,求函数f(x)的定义域; (2)当x∈[0,2],求f(x)的最小值(用t表示); (3)是否存在不同的实数a,b,使得f(a)=lga,f(b)=lgb,并且a,b∈(0,2),若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由. |
函数f(x)=ax2+bx+c,其中a<0,对∀x∈R,恒有f(x)=f(4-x),若f(1-3x2)<f(1+x-x2),则x的取值范围是______. |
若函数f(x)=x2+ax,x∈[1,3]是单调函数,则实数a的取值范围是______. |
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