已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足:f(-14+x)=f(-14-x),且f(x)<2x的解集为(-1,32)(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足:f(-14+x)=f(-14-x),且f(x)<2x的解集为(-1,32)(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足:f(-
1
4
+x)=f(-
1
4
-x)
,且f(x)<2x的解集为(-1,
3
2
)

(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)-mx(m∈R),若g(x)在x∈[-1,2]上的最小值为-4,求m的值.
答案
(1)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-
1
4
+x)=f(-
1
4
-x)
∴函数的图象关于直线x=-
1
4
对称,可得-
b
2a
=-
1
4
 即a=2b …①
又∵不等式f(x)<2x,即ax2+(b-2)x+c<0的解集为(-1,
3
2

∴方程ax2+(b-2)x+c=0的两根分别为x1=-1,x2=
3
2
且a>0.
根据根与系数的关系,得





-1+
3
2
=-
b-2
a
-1×
3
2
=
c
a
…②
联解①②得:a=2,b=1,c=-3
∴函数f(x)的解析式为:f(x)=2x2+x-3
(2)函数g(x)=2x2+(1-m)x-3图象的对称轴方程为:x=
m-1
4

①当
m-1
4
<-1时,即m<-3时,g(x)min=g(-1)=m-2
由m-2=-4  得m=-2>-3不符合题意
②当-1≤
m-1
4
≤2时,即-3≤m≤9时,g(x)min=g(
m-1
2
)=-4,
解得:m=1
+
.


2
∈[-3,9],符合题意
③当
m-1
4
>2时,即m>9时,g(x)min=g(2)=7-2m
由7-2m=-4 得m=
11
2
<5.不符合题意
综上所述,符合题意的实数m的值为1
+
.


2
举一反三
已知函数f(x)=lg(x2+tx+1)
(1)当t=-
5
2
,求函数f(x)的定义域;
(2)当x∈[0,2],求f(x)的最小值(用t表示);
(3)是否存在不同的实数a,b,使得f(a)=lga,f(b)=lgb,并且a,b∈(0,2),若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=ax2+bx+c,其中a<0,对∀x∈R,恒有f(x)=f(4-x),若f(1-3x2)<f(1+x-x2),则x的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=x2+ax,x∈[1,3]是单调函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=x2+2x+3(-3≤x≤2)的值域为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)内有最小值,则a的取值范围是(  )
A.a>1B.a≥1C.a≤1D.a<1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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