已知二次函数f(x)的图象与x轴的交点为(0,0)和(-2,0),且f(x)最小值是-1,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称(1)求f(x)和g(x)的解
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)的图象与x轴的交点为(0,0)和(-2,0),且f(x)最小值是-1,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称 (1)求f(x)和g(x)的解析式; (2)若h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围. |
答案
(1)依题意,设f(x)=ax(x+2)=ax2+2ax(a>0). ∵f(x)图象的对称轴是x=-1, ∴f(-1)=-1,即a-2a=-1,得a=1. ∴f(x)=x2+2x. 又∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称, ∴g(x)的顶点坐标为(1,-1),与x轴的交点为(0,0)和(2,0),开口向上, ∴g(x)=x2-2x. (2)由(1)得h(x)=x2+2x-λ(x2-2x) =(1-λ)x2+2(1+λ)x. ①当λ=1时,h(x)=4x满足在区间[-1,1]上是增函数, ②当λ<1时,h(x)图象对称轴是x=, 则≤-1,又λ<1,解得0≤λ<1; ③当λ>1时,同理则需≥1, 又λ>1,解得λ>1, 综上,满足条件的实数λ的取值范围是[0,+∞). |
举一反三
若为实数,则函数y=x2+3x-5的值域是( )A.(-∞,+∞) | B.[0,+∞) | C.[-7,+∞) | D.[-5,+∞) |
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已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),满足f(1)=0,且a2+[f(m1)+f(m2)]•a+f(m1)•f(m2)=0. (1)求证a>0,c<0且b≥0; (2)求证f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2,3);问能否得出f(m1+3),f(m2+3)中至少有一个为正数,请证明你的结论. |
函数y=2-x2的单调递减区间是( )A.(-∞,-1) | B.(-∞,0) | C.(0,+∞) | D.(-1,+∞) |
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函数f(x)=x2-4x+3( )A.在(-∞,+∞)上是减函数 | B.在(-∞,4)是减函数 | C.在(-∞,0)上是减函数 | D.在(-∞,2)上是减函数 |
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求函数y=f(x)=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域. |
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