已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，且a2+[f（m1）+f（m2）]•a+f（m1）•f（m2）=0．（1）求证a＞0，c＜0

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，且a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0．
（1）求证a＞0，c＜0且b≥0；
（2）求证f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）；问能否得出f（m₁+3），f（m₂+3）中至少有一个为正数，请证明你的结论．

答案

证明：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，
∴a+b+c=0．（1分）
若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，
则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．（2分）
若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾，
∴c＜0成立．（3分）
∵a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0
∴[a+f（m₁）]•[a+f（m₂）]=0，∴m₁，m₂是方程f（x）=-a的两根
∴△=b²-4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a-c）≥0
而a＞0，c＜0∴3a-c＞0，
∴b≥0．（4分）
（2）f（1）=0，∴1是方程f（x）=0的一个根，
设x₁=1，另一个根为x₂，有x2=-

b

a

-1，x2=

c

a

．
∵b=-a-c≥0，a＞0，∴

c

a

≤-1；
又a＞0，a＞-a-c＞c，∴-2＜

c

a

≤-1，
∴2≤1-

c

a

＜3，即2≤|x₁-x|＜3，
故f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）．（8分）
设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-

c

a

)
由已知f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，不妨设f（m₁）=-a
则a(m1-1)(m1-

c

a

)=-a＜0，∴

c

a

＜m₁＜1
∴m₁+3＞

c

a

+3＞1，
∴f（m₁+3）＞f（1）＞0，
同理当f（m₂）=-a，有f（m₂+3）＞0，
所以f（m₁+3），f（m₂+3）中至少有一个为正数．（12分）