已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）设g（x）=f（x）
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）-2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，求实数m的最大值． |
答案
（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴a=10b②．
又对于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，即f（x）-2x≥0恒成立，则x2+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=lg2a-4lgb≤0，
将①式代入上式得：lg2b-2lgb+1≤0，即（lgb-1）2≤0，故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100；
故a=100，b=10．
（2）g（x）=f（x）-2x=x2+2x+1=（x+1）2，
∵存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，即（x+t+1）2≤x恒成立．
∴∃t∈R，-≤x+t+1≤，即--x≤t+1≤-x，x∈[1，m]恒成立．
设=u≥1，则-u-u2≤t+1≤u-u2，
∴(-u-u2)max≤t+1≤(u-u2)min，
∵当≥u≥1时，-u2-u=-(u+)2+单调递减，故u=1时取得最大值-2；
-u2+u=-(u-)2+单调递减，故u=时取得最小值-m．
∴-2≤t+1≤-m．
∴-2≤-m，即()2--2≤0，化为(+1)(-2)≤0，
又m≥1，解得1＜≤2，解得1＜m≤4，
∴实数m的最大值是4． |
举一反三
| 已知二次函数y=x2+bx+c图象过点A（c，0），且关于直线x=2对称，则c的值为______． |
记满足下列的条件的函数f（x）的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|，又令g（x）=x2+2x-1，则g（x）与M的关系是（ ）| A．g（x）⊆M | B．g（x）∈M | C．g（x）∉M | D．不能确定 |
|
已知a≥，f（x）=-a2x2+ax+c．
（1）如果对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立，证明c≤；
（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个不等实根x1，x2，且x1≥0，x2≥0，求实数c的取值范围． |
| 若二次函数y=-3x2+2（a-1）x+1在区间（-1，+∞）上为减函数，那么（ ） |
| 已知f（x）=（x-m）（x-n）+2（其中m＜n），并且α、β（α＜β）是方程f（x）=0的两根，则实数m，n，α，β 的大小关系可能是______． |
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