已知a≥12,f(x)=-a2x2+ax+c.(1)如果对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立,证明c≤34;(2)已知关于x的二次方程f(x)=0有两个不

已知a≥12,f(x)=-a2x2+ax+c.(1)如果对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立,证明c≤34;(2)已知关于x的二次方程f(x)=0有两个不

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知a≥
1
2
,f(x)=-a2x2+ax+c.
(1)如果对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立,证明c≤
3
4

(2)已知关于x的二次方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,且x1≥0,x2≥0,求实数c的取值范围.
答案
(1)f(x)=-a2(x-
1
2a
2+c+
1
4

∵a≥
1
2
,∴
1
2a
∈(0,1],
∴x∈(0,1]时,[f(x)]max=c+
1
4
,-----------------------(2分)
∵f(x)≤1,则[f(x)]max=c+
1
4
≤1,即c≤
3
4

∴对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立时,可得c≤
3
4
.--------------------------(5分)
(2)∵a≥
1
2
,∴
1
2a
>0
又抛物线开口向下,f(x)=0的两根在[0,+∞)内,





△>0
1
2a
≥0
f(0)≤0





c>-
1
4
a>0
f(0)≤0





c>-
1
4
c≤0
⇒-
1
4
<c≤0

所求实数c的取值范围为-
1
4
<c≤0
.---------------------(12分)
举一反三
若二次函数y=-3x2+2(a-1)x+1在区间(-1,+∞)上为减函数,那么(  )
A.a=-2B.a=2C.a≤-2D.a≥2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=(x-m)(x-n)+2(其中m<n),并且α、β(α<β)是方程f(x)=0的两根,则实数m,n,α,β 的大小关系可能是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)的图象与x轴的交点为(0,0)和(-2,0),且f(x)最小值是-1,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案


x
为实数,则函数y=x2+3x-5的值域是(  )
A.(-∞,+∞)B.[0,+∞)C.[-7,+∞)D.[-5,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),满足f(1)=0,且a2+[f(m1)+f(m2)]•a+f(m1)•f(m2)=0.
(1)求证a>0,c<0且b≥0;
(2)求证f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2,3);问能否得出f(m1+3),f(m2+3)中至少有一个为正数,请证明你的结论.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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