已知a≥12,f(x)=-a2x2+ax+c.(1)如果对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立,证明c≤34;(2)已知关于x的二次方程f(x)=0有两个不
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已知a≥12,f(x)=-a2x2+ax+c.(1)如果对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立,证明c≤34;(2)已知关于x的二次方程f(x)=0有两个不
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知a≥
1
2
,f(x)=-a
2
x
2
+ax+c.
(1)如果对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立,证明c≤
3
4
;
(2)已知关于x的二次方程f(x)=0有两个不等实根x
1
,x
2
,且x
1
≥0,x
2
≥0,求实数c的取值范围.
答案
(1)f(x)=-a
2
(x-
1
2a
)
2
+c+
1
4
,
∵a≥
1
2
,∴
1
2a
∈(0,1],
∴x∈(0,1]时,[f(x)]
max
=c+
1
4
,-----------------------(2分)
∵f(x)≤1,则[f(x)]
max
=c+
1
4
≤1,即c≤
3
4
,
∴对任意x∈[0,1],总有f(x)≤1成立时,可得c≤
3
4
.--------------------------(5分)
(2)∵a≥
1
2
,∴
1
2a
>0
又抛物线开口向下,f(x)=0的两根在[0,+∞)内,
⇒
△>0
1
2a
≥0
f(0)≤0
⇒
c>-
1
4
a>0
f(0)≤0
⇒
c>-
1
4
c≤0
⇒-
1
4
<c≤0
所求实数c的取值范围为
-
1
4
<c≤0
.---------------------(12分)
举一反三
若二次函数y=-3x
2
+2(a-1)x+1在区间(-1,+∞)上为减函数,那么( )
A.a=-2
B.a=2
C.a≤-2
D.a≥2
题型:单选题
难度:一般
|
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题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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(2)若h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若
x
为实数,则函数y=x
2
+3x-5的值域是( )
A.(-∞,+∞)
B.[0,+∞)
C.[-7,+∞)
D.[-5,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>b>c),满足f(1)=0,且a
2
+[f(m
1
)+f(m
2
)]•a+f(m
1
)•f(m
2
)=0.
(1)求证a>0,c<0且b≥0;
(2)求证f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2,3);问能否得出f(m
1
+3),f(m
2
+3)中至少有一个为正数,请证明你的结论.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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