已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）．（1）若函数f（x）无零点，求证：b＞0；（2）若函数f（x）有两个零点，且两零点是相邻两整数，求证：f(-

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）若函数f（x）无零点，求证：b＞0；
（2）若函数f（x）有两个零点，且两零点是相邻两整数，求证：f(-a)=

1

4

(a2-1)；
（3）若函数f（x）有两非整数零点，且这两零点在相邻两整数之间，试证明：存在整数k，使得|f(k)|＜

1

4

．

答案

（1）证明：f（x）=x²+ax+b无零点，
△=a²-4b＜0，
b＞

a2

4

≥0．
（2）证明：设f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
则2m+1=-a，m(m+1)=b=

1

4

(a2-1)，
所以f(-a)=b=

1

4

(a2-1)．

（3）证明：设相邻两整数为t、t+1，则f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a²-4b＞0，
根据二次函数的单调性，f^/（t）=2t+a＜0，f^/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
从而-2（t+1）＜a＜-2t即-1＜t+

a

2

＜0．
所以0＜t+

a

2

+1≤

1

2

或-

1

2

＜t+

a

2

＜0．
若0＜t+

a

2

+1≤

1

2

，
则0＜f(t+1)=(t+1+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，从而|f(t+1)|＜

1

4

；
若-

1

2

＜t+

a

2

＜0，
则0＜f(t)=(t+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，从而|f(t)|＜

1

4

．
所以，存在整数k（k=t或k=t+1），使得|f(k)|＜

1

4

．