已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3,问:是否存在常数(t≥0)t,当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3,问:是否存在常数(t≥0)t,当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t. |
答案
当时,即0≤t≤6时,f(x)的值域为:[f(8),f(t)], 即[q-61,t2-16t+q+3] ∴t2-16t+q+3-(q-61)=t2-16t+64=12-t 即t2-15t+52=0 ∴t=,经检验t=不合题意,舍去. 当时,即6≤t<8时,f(x)的值域为:[f(8),f(10)],即[q-61,q-57] ∴q-57-(q-61)=4=12-t ∴t=8 经检验t=8不合题意,舍去 当t≥8时,f(x)的值域为:[f(t),f(10)],即[t2-16t+q+3,q-57] ∴q-57-(t2-16t+q+3)=-(t2-16t+60)=12-t ∴t2-17t+72=0 ∴t=8或t=9 经检验t=或8或t=9满足题意, 所以存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t. |
举一反三
已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b为常数,且a≠0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根. (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果存在,求出m、n的值,如果不存在,说明理由. |
已知二次函数f(x)的二次项系数为负,对任意实数x都有f(2-x)=f(2+x),问当f(1-2x2)与f(1+2x-x2)满足什么条件时才有-2<x<0? |
已知f(x)=x2-4x,则f(sinx)的最小值为( ) |
已知二次函数y=g(x)的图象经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到极值,其中m>n>0,b<a. (1)求g(x)的二次项系数k的值; (2)比较a,b,m,n的大小(要求按从小到大排列); (3)若m+n≤2,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f(x)均相切,求y=f(x). |
选修4-5,不等式选讲,已知f(x)=x2-x+c,设x1,x2∈(0,1),且x1≠x2.求证:|f(x1)-f(x2)|<. |
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