已知函数f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,(1)证明:a>0且-2<ba<-1;(2)证明:函数f(x)在(0,1)
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已知函数f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,(1)证明:a>0且-2<ba<-1;(2)证明:函数f(x)在(0,1)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=3ax
2
+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,
(1)证明:
a>0且-2<
b
a
<-1
;
(2)证明:函数f(x)在(0,1)内有两个零点.
答案
证明:(1)∵f(0)>0,∴c>0,
又∵f(1)>0,即3a+2b+c>0.①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式,
∴3a-2a-2c+c>0,即a-c>0,∴a>c.
∴a>c>0.又∵a+b=-c<0,∴a+b<0.
∴1+
b
a
<0,∴
b
a
<-1.
又c=-a-b,代入①式得,
3a+2b-a-b>0,∴2a+b>0,
∴2+
b
a
>0,∴
b
a
>-2.故-2<
b
a
<-1.
(2)由(1)中-2<
b
a
<-1,
∴
1
3
<
b
-3a
<
2
3
即函数f(x)=3ax
2
+2bx+c图象的对称轴x=
b
-3a
在区间(0,1)上
又∵f(
b
-3a
)=
12ac-4
b
2
12a
<0
故函数f(x)在(0,
b
-3a
),(
b
-3a
,1)内各有一个零点
故函数f(x)在(0,1)内有两个零点
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-2x+3,则f(x)在区间[0,3]的值域为( )
A.[3,6]
B.[2,6]
C.[2,3]
D.(3,6)
题型:单选题
难度:一般
|
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若x,y∈(0,+∞),且
x
2
2
+
y
2
3
=1
,则
x
1+
y
2
的最大值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数f (x)=-(a
2
-11a+10)x
2
-(a-1)x+2对一切实数x恒为正值,则实数a的取值范围是( )
A.1≤a≤9
B.1<a<9
C.a≤1或a>9
D.1≤a<9
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
2
-4,若f(-m
2
-m-1)<f(3),则实数m的取值范围是( )
A.(-2,2)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-1,1)
题型:单选题
难度:简单
|
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函数y=-x
2
+4x的单调递增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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