设二次函数f（x）=ax2-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则1c+1+9a+9的最大值为______．

题型：填空题难度：一般来源：不详

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则

1

c+1

+

9

a+9

的最大值为______．

答案

因为二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），
所以

a＞0 △=16-4ac=0

⇒ac=4⇒c=

4

a

，
所以

1

c+1

+

9

a+9

=

1

4 a +1

+

9

a+9

=

a2+18a+36

a2+13a+36

=1+

5

a+ 36 a +13

由于a+

36

a

≥12（当且仅当a=6时取等号）
所以1+

5

a+ 36 a +13

≤1+

1

5

=

6

5

．
故答案为：

6

5