选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；（Ⅱ）设f（x）=x2-x+1，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a
题型：解答题难度：一般来源：河南模拟
选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（Ⅱ）设f（x）=x2-x+1，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）． |
答案
（Ⅰ）当x＜0时，原不等式可化为-2x+x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在．
当0≤x＜时，原不等式可化为-2x-x＜0，解得x＞0，又∵0≤x＜，∴0＜x＜．
当x≥时，原不等式可化为2x-1-x＜1，解得x＜2，又∵x≥，∴≤x＜2．
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
（Ⅱ）∵f（x）=x2-x+1，实数a满足|x-a|＜1，
故|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）． |
举一反三
| 设x∈R，x≠0．给出下面4个式子：①x2+1；②x2-2x+2；③x+；④x2+．其中恒大于1的是______．（写出所有满足条件的式子的序号） |
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），设F（x）=
（1）令a=1，b=2，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．
（2）设m＞0，n＜0且m+n＞0，a＞0，b=0，求证：F（m）+F（n）＞0． |
（Ⅰ）观察①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1
②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．
（Ⅱ）函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值． |
设函数f(x)=lnx-ax2-bx
（1）当a=b=时，求f（x）的最大值．
（2）令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0＜x≤3)，以其图象上任一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围． |
| m为何值时，y=-x2+（2m+6）x-m-3在实数集上恒正或恒负？ |
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