设函数f(x)=lnx-12ax2-bx(1)当a=b=12时,求f(x)的最大值.(2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0<x≤3),以其图象上

设函数f(x)=lnx-12ax2-bx(1)当a=b=12时,求f(x)的最大值.(2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0<x≤3),以其图象上

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=lnx-
1
2
ax2-bx

(1)当a=b=
1
2
时,求f(x)的最大值.
(2)令F(x)=f(x)+
1
2
ax2+bx+
a
x
(0<x≤3)
,以其图象上任一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤
1
2
恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)当a=b=
1
2
时,f(x)=lnx-
1
4
x2-
1
2
x(x>0)

f′(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x

易知f(x)在(0,1]上递增,在[1,+∞)上递减,故f(x)的最大值为f(1)=-
3
4
.(6分)
(2)F(x)=lnx+
a
x
F′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2

由题意
x0-a
x20
1
2
,x0∈(0,3]恒成立,即a≥x0-
1
2
x20
在x0∈(0,3]上恒成立.
易知当x0=1时,x0-
1
2
x20
取得最大值
1
2

a≥
1
2
.      (12分)
举一反三
m为何值时,y=-x2+(2m+6)x-m-3在实数集上恒正或恒负?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则
1
c+1
+
9
a+9
的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-2x-3若x∈[-2,4],求函数f(x)的最大值______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是(  )
A.(0,+∞)B.[2,+∞)C.(0,2]D.[2,4]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设f(x)=ax2+2(b+1)x,g(x)=2x-c,其中a>b>c,且a+b+c=0
(1)求证:
1
3
a
a-c
2
3

(2)求证:函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点
(3)设f(x)与g(x)图象的两个不同交点为A、B,求证:


15
<|AB|<2


15
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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