已知函数f(x)=sin2x+acosx+58a-32,a∈R.(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;(2)若x∈[0,π2]Z,当a∈R时,求函数f(x)
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已知函数f(x)=sin2x+acosx+58a-32,a∈R.(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;(2)若x∈[0,π2]Z,当a∈R时,求函数f(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=sin
2
x+acosx+
5
8
a-
3
2
,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)若x∈
[0,
π
2
]
Z,当a∈R时,求函数f(x)的最大值.
答案
化简可得f(x)=-cos
2
x+acosx+
5
8
a
-
1
2
,
令t=cosx,所以f(x)=-t
2
+at+
5
8
a
-
1
2
,
(1)当a=1时,f(x)=-t
2
+t+
1
8
=-
(t-
1
2
)
2
+
3
8
,
因为x∈R,所以t∈[-1,1],
关于t的二次函数开口向下,对称轴为t=
1
2
,
故当t=
1
2
时,函数取最大值
f(x
)
max
=
3
8
,…(8分)
(2)因为x∈
[0,
π
2
]
,所以t∈[0,1],
由于函数对称轴为x=
a
2
,
故当
a
2
≤0
,即a≤0时,函数在x=0处,函数取最大值
5
8
a
-
1
2
,
当0<
a
2
<1,即0<a<2时,函数在x=
a
2
处,函数取最大值
a
2
4
+
5
8
a-
1
2
,
当
a
2
≥1,即a≥2时,函数在x=1处,函数取最大值
13a
8
-
3
2
,
故f(x)
max
=
5
8
a-
1
2
(a≤0)
a
2
4
+
5
8
a-
1
2
(0<a<2)
13
8
a-
3
2
(a≥2)
…(16分)
举一反三
已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤
1
2
(x
2
+1)对一切实数x恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的解析表达式;
(3)证明:
1
f(1)
+
1
f(2)
+…+
1
f(n)
>2.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=
1
3
a
x
2
+
1
2
a
x
2
-2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x
0
,有 f (x
0
)=x
0
,则称x
0
是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax
2
+(b+1)x+b-1 (a≠0).
(Ⅰ)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(Ⅱ)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+
a
5
a
2
-4a+1
对称,求b的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,a,b,c为实数,且当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1;
(I) 证明:|c|≤1;
(II)证明:|a|≤2;
(III)若g(x)=λax+b(λ>1),求证:当|x|≤1时,|g(x)|≤2λ.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
2
-9x,当x∈[n,n+1](n∈N
*
)时,f(x)所有可能取的整数值有且只有1个,则n=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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