已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,a,b,c为实数,且当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1;(I) 证明:|c|≤1;(II)证明:|a|≤2;(III)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,a,b,c为实数,且当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1; (I) 证明:|c|≤1; (II)证明:|a|≤2; (III)若g(x)=λax+b(λ>1),求证:当|x|≤1时,|g(x)|≤2λ. |
答案
(I)∵当|x|≤1时, 恒有|f(x)|≤1; ∴|f(0)|≤1, ∴c≤1 (II)∵f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c, ∴2a=f(1)+f(-1)-2f(0) 又∵|x|≤1时,|f(x)|≤1, ∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1, |f(0)|≤1, ∴|2a|=|f(1)+f(-1)-2f(0)|≤|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|≤4, ∴|a|≤2. (III)∵f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c 由 | f(0)=c | f(1)=a+b+c | f(-1)=a-b+c |
| | 得 | a=[f(1)+f(-1)]-f(0) | b=[f(1)-f(-1)] | c=f(0) |
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∴g(1)=λa+b=λ•[f(1)+f(-1)]-λf(0)+[f(1)-f(-1)]=f(1)+f(-1)-λf(0)g(-1)=-λa+b=-λ•[f(1)+f(-1)]+λf(0)+[f(1)-f(-1)] =f(1)-f(-1)+λf(0), ∵λ≥1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1, ∴|g(1)|=|f(1)+f(-1)-λf(0)|≤++λ=2λ, ∴|g(-1)|=|f(1)-f(-1)+λf(0)|≤++λ=2λ. |
举一反三
已知函数f(x)=x2-9x,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)所有可能取的整数值有且只有1个,则n=______. |
函数y=2cos2x+4cosx-1(-≤x≤)的值域是______. |
已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值范围是( )A.m≤-2 | B.m≤-4 | C.m>-5 | D.-5<m≤-4 |
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已知m>2,则函数f(θ)=sin2θ+mcosθ,θ∈R的最大值g(m)=______. |
已知正数x满足x+2≤a(4x+1)恒成立,则实数a的最小值为______. |
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