定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有 f (x0)=x0,则称x0是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠

定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有 f (x0)=x0,则称x0是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有 f (x0)=x0,则称x0是f (x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1 (a≠0).
(Ⅰ)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(Ⅱ)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+
a
5a2-4a+1
对称,求b的最小值.
答案
(Ⅰ)当a=1,b=-2时,有f (x)=x2-x-3,
令x2-x-3=x,化简得:x2-2x-3=0,
解得:x1=-1,或x2=3
故所求的不动点为-1或3.(4分)

(Ⅱ)令ax2+(b+1)x+b-1=x,则ax2+bx+b-1=0①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,(6分)
整理得b2-4ab+4a=(b-2a)2+4a-4a2>0,
故4a-4a2>0,即0<a<1(8分)

(Ⅲ)设A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),则kAB=1,∴k=-1,
所以y=-x+
a
5a2-4a+1
,(9分)
又AB的中点在该直线上,所以
x1+x2
2
=-
x1+x2
2
+
a
5a2-4a+1

∴x1+x2=
a
5a2-4a+1

而x1、x2应是方程①的两个根,所以x1+x2=-
b
a
,即-
b
a
=
a
5a2-4a+1

b=-
a2
5a2-4a+1
(12分)
=-
1
(
1
a
)
2
-4(
1
a
)+5
=
1
(
1
a
-2)
2
+1

∴当a=
1
2
∈(0,1)时,bmin=-1.(14分)
举一反三
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,a,b,c为实数,且当|x|≤1时,恒有|f(x)|≤1;
(I) 证明:|c|≤1;
(II)证明:|a|≤2;
(III)若g(x)=λax+b(λ>1),求证:当|x|≤1时,|g(x)|≤2λ.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-9x,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)所有可能取的整数值有且只有1个,则n=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=2cos2x+4cosx-1(-
3
≤x≤
π
2
)的值域是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值范围是(  )
A.m≤-2B.m≤-4C.m>-5D.-5<m≤-4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知m>2,则函数f(θ)=sin2θ+mcosθ,θ∈R的最大值g(m)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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