已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*.(1)若数列{an} 满足1an+1=f′(1an),且a1=4,求数

已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*.(1)若数列{an} 满足1an+1=f′(1an),且a1=4,求数

题型:解答题难度:一般来源:广东模拟
已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*
(1)若数列{an} 满足
1
an+1
=f′(
1
an
)
,且a1=4,求数列{an} 的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:b1=1,bnbn+1=
1
2


an+1
,当n≥3,n∈N*时,求证:①b2nb2n+1b2n-1(n∈N*);②b1+b2+b3+…bn


2n+1
-1
答案
(1)求导函数可得f′(x)=2ax+b,由题意知b=2n,16n2a-4nb=0
∴a=
1
2
,b=2n,则f(x)=
1
2
x2+2nx,n∈N*.             (2分)
∵数列{an} 满足
1
an+1
=f′(
1
an
)
,f′(x)=x+2n,
1
an+1
=
1
an
+2n
,∴
1
an+1
-
1
an
=2n

∵a1=4,
1
an+1
-
1
4
=2+4+…+2(n-1)=n2-n

1
an
=(n-
1
2
)2

an=
4
(2n-1)2
   (6分)
(2)证明:①由b1=1得b2=
1
3
,由bnbn+1=
1
2


an+1
=
1
2n+1
bnbn+1
bn+2bn+1
=
2n+3
2n+1

bn+2
bn
=
2n+1
2n+3
,∴
b2n+1
b2n-1
=
4n-1
4n+1
<1
,∴b2n+1<b2n-1
bn+2
bn
=
2n+1
2n+3
及b1=1,b2=
1
3
可得:b2n=
1
3
5
7
•…•
4n-3
4n-1
b2n+1=
3
5
7
9
•…•
4n-1
4n+1

4n-3
4n-1
4n-1
4n+1
,∴b2n<b2n+1(10分)
②由bnbn+1=
1
2


an+1
=
1
2n+1
1
bnbn+1
=2n+1,
1
bn+2bn+1
=2n+3

相减得bn+1=
1
2
(
1
bn+2
-
1
bn
)

由①知:bn≠bn+1
所以b1+b2+b3+…bn=1+
1
2
(
1
b3
-
1
b1
+
1
b4
-
1
b2
+…
1
bn+1
-
1
bn-1
)
=1+
1
2
(-
1
b1
-
1
b2
+
1
bn+1
+
1
bn
)
=-1+
1
2
(
1
bn+1
+
1
bn
)
>-1+


1
bn+1
1
bn
=


2n+1
-1
(14分)
举一反三
对长为800m、宽为600m的一块长方形地面进行绿化,要求四周种花卉,花卉带的宽度相等,中间种草,并且种草的面积不小于总面积的一半,则花卉带的宽度范围为______(用区间表示).
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=
f(x)
x
-4lnx
的零点个数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-(a+1)x+b,
(1)若f(x)<0的解集是(-5,2),求a,b的值;
(2)若a=b,解关于x的不等式f(x)>0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设a为正实数,二次函数f(x)=ax2-4bx+4c有两个属于区间[2,3]的实数根.
(1)求证:存在以a、b、c为边长的三角形;
(2)求证:
a
a+c
+
b
b+a
c
b+c
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数y=x2-4x+6的定义域、值域都是[2,2b](b>1),则(  )
A.b=
3
2
B.b∈[
3
2
,+∞)
C.b∈(1,
3
2
D.b∈(
3
2
,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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