设a为正实数,二次函数f(x)=ax2-4bx+4c有两个属于区间[2,3]的实数根.(1)求证:存在以a、b、c为边长的三角形;(2)求证:aa+c+bb+a

设a为正实数,二次函数f(x)=ax2-4bx+4c有两个属于区间[2,3]的实数根.(1)求证:存在以a、b、c为边长的三角形;(2)求证:aa+c+bb+a

题型:解答题难度:一般来源:不详
设a为正实数,二次函数f(x)=ax2-4bx+4c有两个属于区间[2,3]的实数根.
(1)求证:存在以a、b、c为边长的三角形;
(2)求证:
a
a+c
+
b
b+a
c
b+c
答案
证明:(1)由题





f(2)≥0
f(3)≥0
2≤
2b
a
≤3
△=16b2-16ac≥0






c≥2b-a
4c≥12b-9a
a≤b≤
3a
2
b2≥ac

∴0<a≤b≤c 且c≤
b2
a
,(下面证a+b>
b2
a
≥c)
又a2+ab-b2=
5
4
a2-(b-
a
2
)≥
5
4
a2-(
3
2
a-
a
2
2=
1
4
a2>0,
∴a+b≥
b2
a
>c,∴a、b、c可构成三角形的三边.
(2)由a≤b≤c<a+b,
c
b+c
a+b
b+c
=
a
b+c
+
b
b+c
a
a+c
+
b
b+a
举一反三
若函数y=x2-4x+6的定义域、值域都是[2,2b](b>1),则(  )
A.b=
3
2
B.b∈[
3
2
,+∞)
C.b∈(1,
3
2
D.b∈(
3
2
,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a满足的条件是(  )
A.a≥8B.a≤8C.a≥4D.a≥-4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数m的取值范围是(  )
A.0≤m≤1B.
3
4
<m≤1
C.
3
4
≤m≤1
D.m≥
3
4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),
(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求f(x)表达式;
(2)在(1)的条件下,g(x)=f(x)-16x(x∈[m,10],其中常数m>0),区间D为g(x)的值域,若D的长度为23-2m,求此时m的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=x2+(a+2)x+b,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则f(x)的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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