已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,f(0)=1,且对称轴是x=-1,g(x)=f(x)
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已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,f(0)=1,且对称轴是x=-1,g(x)=f(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,f(0)=1,且对称轴是x=-1,
g(x)=
f(x)(x>0)
-f(x)(x<0)
求g(2)+g(-2)的值;
(2)在(1)条件下,求f(x)在区间[t,t+2](t∈R)上的最小值f(x)
min
.
答案
(1)∵
f(-1)=0
f(0)=1
x=-
b
2a
=-1
,即
a-b+c=0
c=1
b=2a
,
解得:
a=1
c=1
b=2
,
∴f(x)=(x+1)
2
,(3分)
∴
g(x)=
(x+1
)
2
(x>0)
-(x+1
)
2
(x<0)
,
∴g(2)+g(-2)=8;(6分)
(2)当t+2≤-1时,即t≤-3时f(x)=(x+1)
2
在区间[t,t+2]上单调递减.
f(x)
min
=f(t+2)=(t+3)
2
(8分)
当t<-1<t+2时,即-3<t<-1时f(x)=(x+1)
2
在区间[t,-1]上单调递减,
f(x)=(x+1)
2
在区间[-1,t+2]上单调递增,
f(x)
min
=f(-1)=0(10分)
当t≥-1时,f(x)=(x+1)
2
在区间[t,t+2]上单调递增,
f(x)
min
=f(t)=(t+1)
2
(12分)
综上所述:
f(x
)
min
=
(t+3)
2
0
(t+1)
2
,
(t≤-3)
(-3<t<-1)
(t≥-1)
.(14分)
举一反三
若函数f(x)=4x
2
-kx-8在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是( )
A.(-∞,40]
B.[40,64]
C.(-∞,40]∪[64,+∞)
D.[64,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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若f(x)=-x
2
+2ax与g(x)=(a+1)
1-x
(a>-1且a≠0)在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)
B.(0,1]
C.(0,1)
D.(-1,0)∪(0,1)
题型:单选题
难度:一般
|
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f(x)=x
2
+2ax+1在[1,2]上是单调函数,则a的取值范围是( )
A.a≥-1
B.a≤-2
C.-2≤a≤-1
D.a≤-2或a≥-1
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)=3x
2
-5x+2,x∈[0,2]的值域是( )
A.[2,4]
B.[-
1
12
,+∞]
C.[-
1
12
,2]
D.[-
1
12
,4]
题型:单选题
难度:简单
|
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若函数
f(x)=
1
2
x
2
-x+a
的定义域和值域均为[1,b](b>1),求a,b的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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