求函数y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值，并指出当x取何值时，函数取得最值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

求函数y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值，并指出当x取何值时，函数取得最值．

答案

设t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，…（2分）
则t∈[- 

2

，

2

]，
sin2x=2sinxcosx=1-t²．…（6分）
∴y=sin2x-2sinx+2cosx
=1-t²-2t
=-（t+1）²+2．…（8分）
∴当t=

2

时，即x=2kπ+

3π

4

，k∈Z时，y取得最小值为-1-2

2

；…（11分）
当t=1时，即x=2kπ或2kπ-

π

2

时，y取得最大值为2．…（14分）