已知函数g（x）=ax2-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=g(x)x．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）-

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=

g(x)

x

．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

答案

（1）函数g（x）=ax²-2ax+b+1=a（x-1）²+1+b-a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故

g(2)=1 g(3)=4

，解得

a=1 b=0

． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+

1

x

-2，所以，不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为 2^x+

1

2x

-2≥k•2^x，
可化为 1+(

1

2x

)2-2•

1

2x

≥k，令t=

1

2x

，则 k≤t²-2t+1．
因 x∈[-1，1]，故 t∈[

1

2

，2]．故k≤t²-2t+1在t∈[

1

2

，2]上能成立．
记h（t）=t²-2t+1，因为 t∈[

1

2

，2]，故 h（t）_max =h（2）=1，
所以k的取值范围是（-∞，1]． …（14分）