设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)同时满足下列条件:①f(1)=1;②当x∈R时,恒有f(x)≥x成立;③当x∈R时,恒有f(x-4)=
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)同时满足下列条件:①f(1)=1;②当x∈R时,恒有f(x)≥x成立;③当x∈R时,恒有f(x-4)=f(2-x)成立. (1)求f(x)的表达式; (2)设g(x)=4f(x)-4x+2,试问g(x)是否存在这样的区间[a,b](a<b)同时满足下列条件:①g(x)在[a,b]上单调;②若g(x)的定义域是[a,b],则其值域也是[a,b].若存在,求出这样的区间[a,b],若不存在,试说明理由. |
答案
(1)因当x∈R时,恒有f(x)≥x成立, 即ax2+(b-1)x+c≥0,∴△=(b-1)2-4ac≤0,且a>0,① 当x∈R时,恒有f(x-4)=f(2-x)成立,则函数f(x)=ax2+bx+c和图象的对称轴是x=-1, 即-=-1,∴b=2a,② 又f(1)=1,∴a+b+c=1,③ 由①②③解得:a=,b=,c=, ∴f(x)的表达式为f(x)=x2+x+. (2)g(x)=4f(x)-4x+2=x2-2x+3, 假设存在这样的区间[a,b](a<b)同时满足下列条件:①g(x)在[a,b]上单调;②若g(x)的定义域是[a,b],则其值域也是[a,b]. ∵g(x)在[a,b]上单调,∴a≥1或b≤1. 当a≥1时,g(x)在[a,b]上单调增,若g(x)的定义域是[a,b],则值域为[a2-2a+3,b2-2b+3], ∴,此方程组无解; 当b≤1时,g(x)在[a,b]上单调减,若g(x)的定义域是[a,b],则值域为[b2-2b+3,a2-2a+3], ∴,此方程组无解; 综上可知,不存在这样的区间[a,b](a<b)同时满足条件. |
举一反三
已知函数f(x)=-x2+x+1,x∈[0,]的最值情况为( )A.有最小值,有最大值1 | B.有最小值,有最大值 | C.有最小值1,有最大值 | D.有最小值,无最大值 |
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已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R, (1)若f(x)有一个零点为-1,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. |
已知f(x)=x2-2ax+2,若x∈[1,3]时f(x)的最小值为2,求实数a的值. |
已知二次函数的图象如图所示. (1)写出该函数的零点; (2)写出该函数的解析式. (3)求当x∈[-2,2]时,函数的值域.![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819120921-60113.png) |
已知函数f(x)=x2+2ax-1 (1)若f(1)=2,求实数a的值,并求此时函数f(x)的最小值; (2)若f(x)为偶函数,求实数a的值; (3)若f(x)在(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围. |
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