已知f(x)是二次函数,若f(0)=0且f(x+1)-f(x)=x+1,求函数f(x)的解析式,并求出它在区间[-1,3]上的最大、最小值.

已知f(x)是二次函数,若f(0)=0且f(x+1)-f(x)=x+1,求函数f(x)的解析式,并求出它在区间[-1,3]上的最大、最小值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是二次函数,若f(0)=0且f(x+1)-f(x)=x+1,求函数f(x)的解析式,并求出它在区间[-1,3]上的最大、最小值.
答案
∵f(0)=0,∴可设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0).
∵f(x+1)-f(x)=x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)-[ax2+bx]=x+1,
化为(2a-1)x+a+b-1=0.
此式对于任意实数x恒成立,因此





2a-1=0
a+b-1=0
,解得a=b=
1
2

f(x)=
1
2
x2+
1
2
x

f(x)=
1
2
(x+
1
2
)2-
1
8

∴函数f(x)在区间[-1,-
1
2
]
上单调递减,在区间[-
1
2
,3]
上单调递增.
∵f(-1)=0,f(-
1
2
)=-
1
8
,f(3)=6.
∴函数f(x)在区间[-1,3]上的最大、最小值分别为6,-
1
8
举一反三
已知函数f(x)=x2-2ax+a-1在区间[0,1]上有最小值-2,求a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=x2-4x+1,x∈[1,5]的值域是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx,(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有两个相等的实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]与[3m,3n],若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数的不动点,对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx-b总有相异不动点,实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为(  )
A.[
1
2
,2]
B.[


2
2
,2]
C.[


2
2
9
8
]
D.[


3
2
,2]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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