已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1．（1）若x∈R使f（x）＜bg（x），求实数b的取值范围；（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2，且|F

题型：解答题难度：一般来源：北京市期末题

已知函数f（x）=x²，g（x）=x﹣1．
（1）若x∈R使f（x）＜bg（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m²，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）由x∈R，f（x）＜bg（x），得x∈R，x²﹣bx+b＜0，
∴△=（﹣b）²﹣4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴实数b的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题设得F（x）=x²﹣mx+1﹣m²，
对称轴方程为x= ，△=m²﹣4（1﹣m²）=5m²﹣4，
由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：
①当△≤0即时，
有，
解得，
②当△＞0即或时，
设方程F（x）=0的根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
若，则，
有
解得m≥2；
若，即，有x₁＜0，x₂≤0；
得F（0）=1﹣m²≥0，有﹣1≤m≤1，
∴；
综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，0]∪[2，+∞）．