已知函数f（x）=ax-x2的最大值不大于，又当时，。（1）求a的值； （2）设，an+1=f（an），n∈N*，证明。

题型：解答题难度：困难来源：辽宁省高考真题

已知函数f（x）=ax-x²的最大值不大于，又当时，。
（1）求a的值；
（2）设，a_n+1=f（a_n），n∈N*，证明。

答案

解：（1）由于的最大值不大于
所以，即 ①
又时，
所以
即
解得 ②
由①②得a=1。
（2）（i）当n=1时，，不等式成立
因
所以
故n=2时不等式也成立；
（ii）假设时，不等式成立，
因为的对称轴为，知f（x）在为增函数，
所以由得
于是有

所以当n=k+1时，不等式也成立
根据（i）（ii）可知，对任何n∈N*，不等式成立。