已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得
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已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得
题型:解答题
难度:困难
来源:福建省高考真题
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,使得方程 f(x)+
=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。
答案
解:(1)∵f(x)是二次函数,且
的解集是
∴可设
∴f(x)在区间
上的最大值是
由已知,得
∴a=2
∴
。
(2)方程
等价于方程
设
则
当
时,
,h(x)是减函数
当
时,
,h(x)是增函数
∵
∴方程
在区间
内分别有惟一实数根,
而在区间
内没有实数根
所以存在惟一的自然数
,使得方程
在区间
内有且只有两个不同的实数根。
举一反三
设二次函数f(x)=ax
2
+bx+c的导数为f"(x),f"(0)>0,对于任意的实数x恒有f(x)≥0,则
的最小值是( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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设a为实数,设函数
的最大值为g(a)。
(1)设t=
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足
的所有实数a。
题型:解答题
难度:困难
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已知函数f(x)=ax
2
+2ax+4(0<a<3),若x
1
<x
2
,x
1
+x
2
=1-a,则
[ ]
A.f(x
1
)<f(x
2
)
B.f(x
1
)=f(x
2
)
C.f(x
1
)>f(x
2
)
D.f(x
1
)与f(x
2
)的大小不能确定
题型:单选题
难度:一般
|
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已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx
2
+cx+d,g(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d。方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根。
(1)求d的值;
(2)若a=0,求c的取值范围;
(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围。
题型:解答题
难度:困难
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如果函数f(x)=a
x
(a
x
-3a
2
-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
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