已知二次函数f（x）=x2-（m+2）x+m+2（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在x1，x2，使得x1+x2=0，

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知二次函数f（x）=x²-（m+2）x+m+2（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在x₁，x₂，使得x₁+x₂=0，但f（x₁）≠f（x₂）。设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）。
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式。

答案

解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ=[-（m+2）]²-4（m+2）=0m=-2或m=2
当m=-2时，函数f（x）=x²是一个偶函数，故不存在x₁，x₂，使得x₁+x₂=0，且f（x₁）≠f（x₂）
当m=2时，函数f（x）=x²-4x+4，在定义域内存在x₁，x₂，使得x₁+x₂=0，且f（x₁）≠f（x₂），
故f（x）=x²-4x+4。
（2）由（1）可知S_n=n²-4n+4，
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-4n+4）-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5
∴。