已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1,(1)求f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的零点,并写出f(x)<0时,x取值的集合;
题型:解答题难度:一般来源:期末题
已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1, (1)求f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的零点,并写出f(x)<0时,x取值的集合; (3)设F(x)=4f(ax)+3a2x-1(a>0,且a≠1),当x∈[-1,1]时,F(x)有最大值14,试求a的值. |
答案
解:(1)∵f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1, ∴a(x-1)2+b(x-1)=ax2+bx+x-1, 即ax2-(2a-b)x+a-b=ax2+(b+1)x-1, ∴,解得, ∴。 (2)由f(x)=0得函数的零点为0,1, 又函数f(x)的图象是开口向下的抛物线, ∴f(x)<0时x>1或x<0, ∴x取值的集合为{x|x>1或x<0}. (3)由F(x)=4f(ax)+3a2x-1(a>0,且a≠1),得F(x)=a2x+2ax-1, ①当a>1时,令u=ax, ∵x∈[-1,1], ∴, 令g(u)=u2+2u-1=(u+1)2-2,, ∵对称轴u=-1, ∴g(u)在上是增函数, ∴gmax(u)=g(a)=a2+2a-1=14, ∴a2+2a-15=0, ∴a=3,a=-5(舍); ②当0<a<1时,令u=ax, ∵x∈[-1,1], ∴, ∴g(u)=u2+2u-1=(u+1)2-2,, ∵对称轴u=-1, ∴g(u)在上是增函数, ∴, ∴(舍),∴; 综上,或a=3. |
举一反三
已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2, (1)求a,b的值; (2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围. |
某企业实行裁员增效,已知现有员工a人,每人每年可创纯利润1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的,设该企业裁员x人后纯收益为y万元, (1)写出y关于x的函数关系式,并指出x的取值范围; (2)当140<a≤280时,问该企业裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能获得大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁) |
下列函数中,在区间(0,+∞)上在是增函数的是 |
[ ] |
A.y=-x2 B. C. D.y=log2x |
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 |
[ ] |
A.(1)和(20) B.(9)和(10) C.(9)和(11) D.(10)和(11) |
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为( )(米)。 |
最新试题
热门考点