已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)。(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(2)若f(

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)。(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(2)若f(

题型:解答题难度:一般来源:0103 月考题
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)。
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围。
答案

解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则不等式f(x)>-2x为ax2+(b+2)x+c>0,
∵不等式的解集为(1,3),
∴a<0,=4,=3,即a<0,b=-4a-2,c=3a,
∵方程ax2+bx+6a+c=0有两个相等的根,
∴Δ=b2-4a(6a+c)=0,
把b、c分别代入Δ中,得5a2-4a-1=0. 解得a=,a=1(舍),
∴b=,c=
∴f(x)的解析式为
(2)由(1)知a<0,所以当x=时,函数f(x)取到最大值,
由题设,得a(2+b·()+c>0,
代入b、c并整理,得a2+4a+1>0,
解得a<-2-或a>-2+
又∵a<0,
∴a的取值范围为(-∞,-2-)∪(-2+,0)。

举一反三
某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:
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x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
已知二次函数f(x)=ax2+bx的图像过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*。
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若数列{an}满足,且a1=4,求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)记,数列{bn}的前n项和Tn,求证:≤Tn<2。
如图,有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分),边缘线OC是以直线AD为对称轴,以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米,问如何画切割线EF,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.

函数f(x)=x2-6x+1的零点个数是
[     ]
A.0
B.1
C.2
D.3
在下列图像中,二次函数y=ax2+bx及指数函数的图像只可能是
[     ]
A、
B、
C、
D、