已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

答案

见解析

解析

解：∵f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2^x)²＋m·2^x＋1＝0有且仅有一个实根．
设2^x＝t(t>0)，则t²＋mt＋1＝0．
∴当Δ＝0，即m²－4＝0．
∴m＝－2时，t＝1；
m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．
∴2^x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2，或m<－2时，
t²＋mt＋1＝0有两正根或两负根都不符合题意．

举一反三

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x²＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

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已知二次函数f(x)＝x²＋2bx＋c(b、c∈R)．
(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b、c的值；
(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．

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已知x₀是f(x)＝(

)^x＋

的一个零点，x₁∈(－∞，x₀)，x₂∈(x_0,0)，则(　　)

A．f(x₁)<0，f(x₂)<0	B．f(x₁)>0，f(x₂)>0
C．f(x₁)>0，f(x₂)<0	D．f(x₁)<0，f(x₂)>0

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)＝

若关于x的方程f²(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)

B．(0,2)

C．(1,2)

D．(0,3)

题型：单选题难度：一般| 查看答案

若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)为同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝

，则f(x)的“友好点对”有________个．

题型：填空题难度：一般| 查看答案