已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论;(Ⅲ)探
题型:解答题难度:一般来源:福建模拟
已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)探究:是否存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由. |
答案
解法一:(Ⅰ)因为f(x)=x2+alnx,所以f′(x)=2x+, 函数f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率k=f"(1)=2+a. 由2+a=10得:a=8. …(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x2+8lnx,令F(x)=f(x)-2x=x2-2x+8lnx. 因为F(1)=-1<0,F(2)=8ln2>0,所以F(x)=0在(0,+∞)至少有一个根. 又因为F′(x)=2x-2+≥2-2=6>0,所以F(x)在(0,+∞)上递增, 所以函数F(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,即方程f(x)=2x有且只有一 个实根. …(7分) (Ⅲ)证明如下: 由f(x)=x2+8lnx,f′(x)=2x+,可求得曲线y=f(x)在点A处的切 线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+)(x-t), 即y=(2t+)x-t2+8lnt-8(x>0). …(8分) 记h(x)=x2+8lnx-[(2t+)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+)x+t2-8lnt+8(x>0), 则h′(x)=2x+-(2t+)=. …(11分) (1)当t=,即t=2时,h′(x)=≥0对一切x∈(0.+∞)成立, 所以h(x)在(0,+∞)上递增. 又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时h(x)<0,当x∈(2,+∞)时h(x)>0, 即存在点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线 在该点处切线的两侧. …(12分) (2)当t>,即t>2时,x∈(0,)时,h"(x)>0;x∈(,t)时,h"(x)<0;x∈(t,+∞)时,h"(x)>0. 故h(x)在(,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增. 又h(t)=0,所以当x∈(,t)时,h(x)>0;当x∈(t,+∞)时,h(x)>0, 即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的 同侧. …(13分) (3)当t<,即0<t<2时,x∈(0,t)时,h"(x)>0;x∈(t,)时,h"(x)<0;x∈(,+∞)时,h"(x)>0. 故h(x)在(0,t)上单调递增,在(t,)上单调递减. 又h(t)=0,所以当x∈(0,t)时,h(x)<0;当x∈(t,)时,h(x)<0, 即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧. 综上,存在唯一点A(2,4+8ln2)使得曲线在点A附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧. …(14分) 解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一; (Ⅲ)证明如下: 由f(x)=x2+8lnx,f′(x)=2x+,可求得曲线y=f(x)在点A处的切 线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+)(x-t), 即y=(2t+)x-t2+8lnt-8(x>0). …(8分) 记h(x)=x2+8lnx-[(2t+)x-t2+8lnt-8]=x2+8lnx-(2t+)x+t2-8lnt+8(x>0), 则h′(x)=2x+-(2t+)=. …(11分) 若存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于t不是极值点, 由二次函数的性质知,当且仅当t=,即t=2时,t不是极值点,即h"(x)≥0. 所以h(x)在(0,+∞)上递增. 又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时,h(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h(x)>0, 即存在唯一点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧. …(14分) |
举一反三
若函数f(x)=21-|x+1|-m的图象与x轴有交点,则实数m的取值范围是______. |
已知函数f(x)=,则函数g(x)=f(x)-2的零点是 ______. |
已知x∈[-1,1],关于x的不等式tan2x-4atanx+2+2a≤0有有限个解,则a的取值是( ) |
关于x的方程(x-a)|x-a|=a(a≠0)的实数解的个数为______. |
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a (Ⅰ) 当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (Ⅱ) 当m=2时,若函数g(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围. |
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