(Ⅰ)g(x)=cos2x+sinxcosx-=+sin2x-…(2分) =cos2x+sin2x=sin(2x+)…(3分) ∴函数g(x)的图象向右平移个单位,得g(x+)=sin2x, 再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得h(x)=sinx,…(4分) 再将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0<m<)倍(横坐标不变), 并将图象向上平移1个单位,得f(x)=msinx+1.…(5分) (Ⅱ)方程f(x)=x有且只有一个实根.…(6分) 理由如下: 由(Ⅰ)知f(x)=msinx+1,令F(x)=f(x)-x=msinx-x+1, 因为F(0)=1>0,结合0<m<,得F()=m-+1<-<0. 所以F(x)=0在(0,)至少有一个根.…(7分) 又因为F′(x)=mcosx-1<m-1<-<0, 所以函数F(x)在R上单调递减, 因此函数F(x)在R上有且只有一个零点,即方程f(x)=x有且只有一个实根.…(9分) (Ⅲ)因为a1=0,an+1=f(an)=msinan+1,所以a2=1>a1, 又a3=msin1+1,因为0<1<,所以0<sin1<1,所以a3>1=a2. 由此猜测an>an-1(n≥2),即数列{an}是单调递增数列.…(11分) 以下用数学归纳法证明:n∈N,且n≥2时,an>an-1≥0成立. (1)当n=2时,a2=1,a1=0,显然有a2>a1≥0成立. (2)假设n=k(k≥2)时,命题成立,即ak>ak-1≥0(k≥2).…(12分) 则n=k+1时,ak+1=f(ak)=msinak+1, 因为0<m<,所以ak=f(ak-1)=msinak-1+1<m+1<+1<. 又sinx在(0,)上单调递增,0≤ak-1<ak<, 所以sinak>sinak-1≥0,所以msinak+1>msinak-1+1, 即sinak+1>msinak-1+1=f(ak-1)=ak≥0, 即n=k+1时,命题成立.…(13分) 综合(1),(2),n∈N,且n≥2时,an>an-1成立. 故数列{an}为单调递增数列.…(14分) |