已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般来源:宁波模拟
已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是______. |
答案
把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式:a2-(x2+2x)a+x3-1=0,则△=(x2+2x)2-4(x3-1)=(x2+2)2, ∴a=,即a=x-1或a=x2+x+1. 所以有:x=a+1或x2+x+1-a=0. ∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根, ∴方程x2+x+1-a=0没有实数根,即△<0, ∴1-4(1-a)<0,解得a<. 所以a的取值范围是a<. 故答案为:a<. |
举一反三
设函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos2x+sinxcosx-的图象经下列两个步骤变换得到: (1)将函数g(x)的图象向右平移个单位,并将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数h(x)的图象; (2)将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0<m<)倍(横坐标不变),并将图象向上平移1个单位,得到函数f(x)的图象. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)判断方程f(x)=x的实根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)设数列{an}满足a1=0,an+1=f(an),试探究数列{an}的单调性,并加以证明. |
已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论; (Ⅲ)探究:是否存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由. |
若函数f(x)=21-|x+1|-m的图象与x轴有交点,则实数m的取值范围是______. |
已知函数f(x)=,则函数g(x)=f(x)-2的零点是 ______. |
已知x∈[-1,1],关于x的不等式tan2x-4atanx+2+2a≤0有有限个解,则a的取值是( ) |
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