已知向量a=(sinx,32),b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;(2)设x1,x2为函数f(x)=-24+(a+ b)•

已知向量a=(sinx,32),b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;(2)设x1,x2为函数f(x)=-24+(a+ b)•

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知向量


a
=(sinx,
3
2
)


b
=(cosx,-1).
(1)当


a


b
时,求cos2x-sin2x的值;
(2)设x1,x2为函数f(x)=-


2
4
+(


a


b
)• 


b
的两个零点,求|x1-x2|的最小值.
答案
(1)由


a


b
得:
3
2
cosx+sinx=0

若cosx=0,则sinx=±1,不合题意.
tanx=-
3
2

因此cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
1-2tanx
tan2x+1
=
16
13


(2)f(x)=-


2
4
+(


a
+


b
)•


b
=(sinx+cosx,
1
2
)•(cosx,-1)-


2
4
=(sinx+cosx)cosx-
1
2
-


2
4
=
1
2
sin2x+
1
2
cos2x-


2
4
=


2
2
sin(2x+
π
4
)-


2
4

依题得sin(2x+
π
4
)=
1
2

解得x=k1π-
π
24
x=k2π+
24
,k1,k2∈Z.
又|x1-x2|=|k2π+
24
-k1π+
π
24
|≥
π
3

所以|x1-x2|的最小值为
π
3
举一反三
函数f(x)对一切实数x均有f(2+x)=f(2-x),且f(x)恰有4个不同的零点,则这些零点之和是(  )
A.0B.2C.4D.8
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)有两个零点;
(2)若x1,x2∈R,x1<x2,f(x1)≠f(x2),证明方程f(x)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=0
在区间(x1,x2)内有一个实根.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=x2+mx-2在区间(1,2)上没有零点,则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=(
1
2
x-x
1
3
的零点一定位于下列的哪个区间(  )
A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(-1,0)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=acos2x+2cosx-3
(Ⅰ) 当a=1时,求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若函数y=f(x)存在零点,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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