已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=exlnx(e是自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线也是抛物线y2=4(x-1)的切线,求a的值;
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=exlnx(e是自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线也是抛物线y2=4(x-1)的切线,求a的值; (2)当a=-1时,是否存在x0∈(0,+∞),使曲线C:y=g(x)-f(x)在点x=x0处的切线斜率与f(x) 在R上的最小值相等?若存在,求符合条件的x0的个数;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)f′(x)=ex+a,把x=1代入得:f′(1)=e+a, 把x=1代入f(x)得:f(1)=e+a,所以切点坐标为(1,e+a), 则在x=1处的切线为y-(e+a)=(e+a)(x-1)即:y=(e+a)x, 与y2=4(x-1)联立,消去得(e+a)2x2-4x+4=0, 由△=0知,a=1-e或a=-1-e; (2)当a=-1时,由(2)知[f(x)]min=f(ln(-a))=-a+aln(-a)=1, 设h(x)=g(x)-f(x)=exlnx-ex+x, 则h′(x)=exlnx-ex•-ex+1=ex(lnx+-1)+1, 假设存在实数x0∈(0,+∞),使曲线C:y=g(x)-f(x)在点x=x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等, x0即为方程的解,(13分) 令h′(x)=1得:ex(lnx+-1)=0,因为ex>0,所以lnx+-1=0. 令φ(x)=lnx+-1,则φ′(x)=-=, 当0<x<1是φ′(x)<0,当x>1时φ′(x)>0, 所以φ(x)=lnx+-1在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴φ(x)>φ(1)=0,故方程ex(lnx+-1)=0有唯一解为1, 所以存在符合条件的x0,且仅有一个x0=1. |
举一反三
若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,求实数a的值; |
方程2x=x+3的一个根所在的区间是( )A.(0,1) | B.(1,2) | C.(2,3) | D.(3,4) |
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已知函数f(x)=lnx-ax2-2x(a<0) (Ⅰ)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (Ⅱ)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围. |
已知向量=(sinx,-1),向量=(cosx,),函数f(x)=(+)•. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期T; (Ⅱ)若方程f(x)-t=0在x∈[,]上有解,求实数t的取值范围. |
设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n). (1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集; (2)若a>0且0<x<m<n<,比较f(x)与m的大小. |
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