已知函数f(x)=ex+x2-x.(e=2.71828…为自然对数的底数)(Ⅰ)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1
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已知函数f(x)=ex+x2-x.(e=2.71828…为自然对数的底数)(Ⅰ)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=e
x
+x
2
-x.(e=2.71828…为自然对数的底数)
(Ⅰ)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)记
λ(n)=
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
,求证:
e+
e
+
3
e
+…+
n
e
>n+
1
n
+λ(n)
(n≥2,n∈N
*
).
答案
(Ⅰ)可得f′(x)=e
x
+2x-1,
∵x>0,∴f′(x)>0
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(4分)
(Ⅱ) y=|f(x)-t|-1有三个零点,即|f(x)-t|=1,f(x)=t±1有三个零点;
由f′(x)=e
x
+2x-1=0得:x=0
当x<0时,f"(x)<0,得:f(x)在(-∞,0)上单调递减;
当x>0时,f"(x)>0,得:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
所以,只需[f(x)]
min
=t-1,即f(0)=t-1,∴t=2.…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
f(x)>f(0)∴e
x
+x
2
-x>1,∴e
x
>1-x
2
+x
当n≥2,n∈N
*
时,
e
1
n
>1-
1
n
2
+
1
n
>1-
1
n(n-1)
+
1
n
=1-(
1
n-1
-
1
n
)+
1
n
,又e>2
叠加得:
e+
e
+
3
e
+…+
n
e
>n+
1
n
+λ(n)
,
∴当n≥2,n∈N
*
时,
e+
e
+
3
e
+…+
n
e
>n+
1
n
+λ(n)
成立.…(15分)
举一反三
已知二次函数f(x)=2x
2
-(a-2)x-2a
2
-a,若在区间[0,1]内至少存在一个实数b,使f(b)>0,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
证明函数f(x)=lnx-x
2
+x只有一个零点.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知三个函数 f(x)=2
x
+x,g(x)=x-2,h(x)=log
2
x+x的零点依次为a,b,c则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c
B.a<b<c
C.a<c<b
D.a>c>b
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
若关于x的方程x
2
+4=ax有正实根,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=(x
2
-3x+2)lnx+2008x-2009,则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实根( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(2,4)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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