证明函数f(x)=lnx-x2+x只有一个零点.
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证明函数f(x)=lnx-x2+x只有一个零点.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
证明函数f(x)=lnx-x
2
+x只有一个零点.
答案
证明:f(x)=lnx-x
2
+x,其定义域是(0,+∞),
∴
f′(x)=
1
x
-2x+1=-
2
x
2
-x-1
x
令f"(x)=0,即
-
2
x
2
-x-1
x
=0
,解得
x=-
1
2
或x=1.
∵x>0,∴
x=-
1
2
舍去.
当0<x<1时,f"(x)>0;当x>1时,f"(x)<0.
∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln1-1
2
+1=0.
当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0.
∴函数f(x)只有一个零点.
举一反三
已知三个函数 f(x)=2
x
+x,g(x)=x-2,h(x)=log
2
x+x的零点依次为a,b,c则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c
B.a<b<c
C.a<c<b
D.a>c>b
题型:单选题
难度:一般
|
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若关于x的方程x
2
+4=ax有正实根,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=(x
2
-3x+2)lnx+2008x-2009,则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实根( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(2,4)
题型:单选题
难度:一般
|
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方程x
2
-x-m=0在x∈[-1,1]上有实根,则m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+a
x
2
+4
,g(x)=2(x+2)
2
,h(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)与g(x)的公共单调区间;
(Ⅱ)若函数h(x)有极值,求实数a的何值范围;
(Ⅲ)当a<0时,讨论函数h(x)的零点个数.
题型:解答题
难度:一般
|
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