已知函数f(x)=13ax3+ax2+4，g（x）=2（x+2）2，h（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）与g（x）的公共单调区间；（Ⅱ）若

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已知函数f(x)=

ax3+ax2+4，g（x）=2（x+2）²，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）与g（x）的公共单调区间；
（Ⅱ）若函数h（x）有极值，求实数a的何值范围；
（Ⅲ）当a＜0时，讨论函数h（x）的零点个数．

答案

（Ⅰ）当a=1时，f"（x）=x²+2x=x（x+2）…（1分）
由f"（x）＞0得x＜-2或x＞0，由f"（x）＜0得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞），递减区间是（-2，0），…（3分）
又g（x）的对称轴为x=-2且开口向上，
∴g（x）的单调递增区间是（-2，+∞），递减区间是（-∞，-2），…（4分）
∴a=1时，f（x）与g（x）的公共单调递增区间是（0，+∞），无公共递减区间…（5分）
（Ⅱ）h(x)=f(x)+g(x)=

ax3+(a+2)x2+8x+12
∴h"（x）=ax²+2（a+2）x+8=（ax+4）（x+2）…（6分）
①当a=0时，h"（x）=2x²+8x+12=2（x+2）²+4在（-2，+∞）递增，
在（-∞，-2）递减，则h（x）有极小值，符合题设…（7分）
②当a≠0时，令h"（x）=0得，x₁=-2，x2=-

，
若函数h（x）有极值，h"（x）=0两个相异实根，∴-2≠-

，得 a≠2
综上（1）（2）得，若函数h（x）有极值，实数a的何值范围是：{a/a≠2，a∈R}…（9分）
（Ⅲ）∵a＜0，由h"（x）=（ax+4）（x+2）=0得x=-2或x=-

，
则-

＞-2
将x，h"（x），h（x）的变化情况列表如下：

举一反三

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