已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(Ⅰ)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)上是增
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R). (Ⅰ)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由; (Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)上是增函数,求a的取值范围; (Ⅲ)设x1,x2,x3为方程f(x)=0的三个根,且x1∈(-1,0),x2∈(0,1),x3∈(-∞,-1)∪(1,+∞),求证:a>1或a<-1. |
答案
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=-x3+x2+b, 因为f(-1)=b+2>b, 所以,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方. (Ⅱ)法一、 由f(x)=-x3+ax2+b,得f′(x)=-3x2+2ax, 令f′(x)=-3x2+2ax=0,解得x=0或x=a, ①当a<0时,由f′(x)>0,解得a<x<0, 所以f(x)在(a,0)上是增函数,与题意不符,舍去; ②当a=0时,由f′(x)=-3x2≤0, 所以f(x)在R上是减函数,与题意不符,舍去; ③当a>0时,由f′(x)>0,解得0<x<a, 所以f(x)在(0,a)上是增函数, 又f(x)在(0,2)上是增函数,所以a≥2,解得a≥3, 综上,a的取值范围为[3,+∞). 法二、 由f(x)=-x3+ax2+b,得f′(x)=-3x2+2ax, 要使函数f(x)在(0,2)上是增函数, 则需f′(x)=-3x2+2ax≥0对任意x∈(0,2)恒成立, 即2ax≥3x2对任意x∈(0,2)恒成立, 也就是a≥x对任意x∈(0,2)恒成立, 因为y=x在x∈(0,2)上为增函数,所以a≥×2=3. 所以,a的取值范围为[3,+∞). (Ⅲ)证明:因为方程f(x)=-x3+ax2+b=0最多只有3个根, 由题意,方程在区间(-1,0)内仅有一根, 所以f(-1)•f(0)=b(1+a+b)<0, 方程在区间(0,1)内仅有一根, 所以f(0)•f(1)=b(-1+a+b)<0, 当b>0时,由b(1+a+b)<0得,1+a+b<0,即a<-b-1, 由b(-1+a+b)<0得,-1+a+b<0,即a<-b+1, 因为-b-1<-b+1,所以a<-b-1<-1,即a<-1; 当b<0时,由b(1+a+b)<0得,1+a+b<0,即a>-b-1, 由b(-1+a+b)<0得,-1+a+b<0,即a>-b+1, 因为-b-1<-b+1,所以a>-b+1>1,即a>1; 当b=0时,因为f(0)=0,所以f(x)=0有一根0, 这与题意不符. ∴a>1或a<-1. |
举一反三
已知二次函数f(x)图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式. |
在下列区间中,函数f(x)=x3-3x+1的零点所在的区间是( )A.(1,2) | B.(2,3) | C.(3,4) | D.(4,5) |
|
函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )A.(0,1) | B.(-1,0) | C.(2,3) | D.(1,2) |
|
已知函数f(x)=2x,g(x)=+2 (1)求函数 g(x)的值域; (2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点. (3)当x<0时,解不等式f(x)+g(x)>3. |
最新试题
热门考点