已知函数f(x)=a2x+ax-6,其中a>0且a≠1.(1)当a=2时,求函数f(x)的零点;(2)若x∈[1,2]时,函数f(x)的最大值为6,求a的值.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=a2x+ax-6,其中a>0且a≠1. (1)当a=2时,求函数f(x)的零点; (2)若x∈[1,2]时,函数f(x)的最大值为6,求a的值. |
答案
(1)当a=2时,f(x)=22x+2x-6…1分 由f(x)=0得22x+2x-6=0,即(2x-2)(2x+3)=0…2分 ∴2x=2或2x=-3(舍去) …4分 ∴x=1…5分 ∴函数f(x)的零点是1…6分 (2)令ax=t,则g(t)=t2+t-6 ①当0<a<1时 ∵函数t=ax在R上是减函数,且1≤x≤2,∴a2≤t≤a…7分 ∵g(t)=t2+t-6在[-,+∞)上单调递增 ∴f(x)max=g(t)max=g(a)=6 ∴a2+a-6=6,即a2+a-12=0…8分 解得a=3(舍去)或a=-4(舍去) …9分 ②当a>1时 ∵函数t=ax在R上是增函数,且1≤x≤2,∴a≤t≤a2…10分 ∵g(t)=t2+t-6在[-,+∞)上单调递增 ∴f(x)max=g(t)max=g(a2)=6 ∴(a2)2+a2-6=6,即(a2)2+a2-12=0…11分 解得a2=3或a2=-4(舍去) …12分 ∴a=…13分 综合①②可知,a=. …14分. |
举一反三
方程log2(2-2x)+x+99=0的两个解的和是______. |
方程3x+x=3的解所在的区间为( )A.(2,3) | B.(1,2) | C.(3,4) | D.(0,1) |
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下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )A.y=logx | B.y=2x-1 | C.y=x2- | D.y=-x3 |
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已知函数f(x)=x3-3ax2-3a2+a(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)上有两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数y=f(x)在区间[m,n]上存在零点,求实数a的取值范围. |
函数f(x)=2x+x-7的零点所在的区间是( )A.(0,1) | B.(1,2) | C.(2,3) | D.(3,4) |
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