已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围． |
答案
（1）f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x1=0，x2=2a
列表如下：
| x | （-∞，0） | 0 | （0，2a） | 2a | （2a，+∞） | | f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | | f（x） | 递增 | -3a2+a | 递减 | -4a3-3a2+a | 递增 |
举一反三
函数f（x）=2x+x-7的零点所在的区间是（ ）| A．（0，1） | B．（1，2） | C．（2，3） | D．（3，4） |
| | 定义在R上的奇函数y=f（x），已知y=f（x）在区间（0，+∞）有3个零点，则函数y=f（x）在R上的零点个数为______． | 已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设x1，x2，x3为方程f（x）=0的三个根，且x1∈（-1，0），x2∈（0，1），x3∈（-∞，-1）∪（1，+∞），求证：a＞1或a＜-1． | | 已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式． | 在下列区间中，函数f（x）=x3-3x+1的零点所在的区间是（ ）| A．（1，2） | B．（2，3） | C．（3，4） | D．（4，5） |
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