已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax (a为常数,a>0)(1)当a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)当y=f(x)在x=12处

已知函数f(x)=ln(12+12ax)+x2-ax (a为常数,a>0)(1)当a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)当y=f(x)在x=12处

题型:解答题难度:一般来源:浙江模拟
已知函数f(x)=ln(
1
2
+
1
2
ax)+x2-ax (a为常数,a>0)
(1)当a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当y=f(x)在x=
1
2
处取得极值时,若关于x的方程f(x)-b=0在[0,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[
1
2
,1],使不等式f(x0)>m(a2+2a-3)成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)a=1时,f(x)=ln(
1
2
+
1
2
x)+x2-x

f(x)=
1
1+x
+2x-1
,于是f(1)=
3
2

又f(1)=0,即切点为(1,0),
∴切线方程为y=
3
2
(x-1)

(2)f(x)=
a
1+ax
+2x-a
f(
1
2
)=
a
1+
1
2
a
+1-a=0
,即a2-a-2=0,
∵a>0,∴a=2,
此时,f(x)=
2x(2x-1)
1+2x
,∴x∈[0,
1
2
]
上递减,[
1
2
,2]
上递增,
f(0)=ln
1
2
,f(
1
2
)=-
3
4
,f(2)=ln
5
2

-
3
4
<b≤ln
1
2

(3)f′(x)=
a
1+ax
+2x-a=
2ax2+(2-a2)x
1+ax
=
x[2ax-(a2-2)]
1+ax

∵1<a<2,∴
a2-2
2a
-
1
2
=
(a-2)(a+1)
2a
<0,即
a2-2
2a
1
2

∴f(x)在[
1
2
,2]上递增,∴f(x)max=f(1)=ln(
1
2
+
1
2
a
)+1-a,
问题等价于对任意的a∈(1,2),不等式ln(
1
2
+
1
2
a
)+1-a>m(a2+2a-3)成立,
设h(a)=ln(
1
2
+
1
2
a)+1-a-m(a2+2a-3)(1<a<2),
则h′(a)=
1
1+a
-1-2ma-2m=
-2ma2-(4m+1)a-2m
a+1

又h(1)=0,∴h(a)在1右侧需先增,∴h′(1)≥0,m≤-
1
8

设g(a)=-2ma2-(4m+1)a-2m,对称轴a=-1-
1
4m
≤1,
又-2m>0,g(1)=-8m-1≥0,
所以在(1,2)上,g(a)>0,即h′(a)>0,
∴h(a)在(1,2)上单调递增,h(a)>h(1)=0,即ln(
1
2
+
1
2
a
)+1-a>m(a2+2a-3),
于是,对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[
1
2
,1],使不等式f(x0)>m(a2+2a-3)成立,
m≤-
1
8
举一反三
已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
1
1-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=ex+x2-2在区间(-2,1)内零点的个数为(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-
2(x-1)
x+1

(1)证明:当x>1时,g(x)>0恒成立;
(2)若函数f(x)无零点,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)有两个相异零点x1、x2,求证:x1x2>e2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知关于x的方程(
1
2
)x=
1+lga
1-lga
有正根,则实数a的取值范围是(  )
A.(0,1)B.(0.1,10)C.(0.1,1)D.(10,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设f(x)=





2ex-1,x<2
log3(x2-1),x≥2
,若f(x1)=f(x2)=a(x1≠x2),则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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