(1)∵f(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5,g(x)=2k2x+k, p(x)在(0,3)上有零点, ∴p(x)=f(x)+g(x)=3x2+2(k-1)x+k+5在(0,3)上有零点. ∴△=(4k2-8k+4)-12k-60≥0,解得 k≤-2,或 k≥7. 若p(x)在(0,3)上有唯一零点,则 p(0)p(3)=(k+5)(7k+26)<0 ①, 或 ②,或③,或 ④. 解①得-<k<-5,解②得k∈∅,解③得k=-,解④可得 k=-2,或k=7. 若p(x)在(1,4)上有2个零点,则有,解得-<k≤-2. 综上所述,实数k的取值范围为[-,-2]. (2)函数q(x)=, 即q(x)= | 2k2x+k,x≥0 | 3x2-2(k2-k+1)x+5,x<0 |
| | . 显然,k=0不满足条件,故k≠0. 当x≥0时,q(x)=2k2x+k∈[k,+∞). 当x<0时,q(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5∈(5,+∞). 记A=[k,+∞),B∈(15,+∞). ①当x2>0时,q(x)在(0,+∞)上是增函数, 要使q(x2)=q(x1),则x1<0,且A⊆B,故k≥5; ②当x2<0时,q(x)在(-∞,0)上是减函数, 要使q(x2)=q(x1),则x1>0,且B⊆A,故k≤5; 综上可得,k=5满足条件. 故存在k=5,对任意给定的非零实数x1,存在惟一的非零实数x2(x2≠x1),使得q(x2)=q(x1). |