已知函数fn(x)=x3-nx-1(x>0,n∈N*).(Ⅰ)求函数f3(x)的极值;(Ⅱ)判断函数fn(x)在区间(n,n+1)上零点的个数,并给予证明.
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已知函数fn(x)=x3-nx-1(x>0,n∈N*).(Ⅰ)求函数f3(x)的极值;(Ⅱ)判断函数fn(x)在区间(n,n+1)上零点的个数,并给予证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f
n
(x)=x
3
-nx-1(x>0,n∈N
*
).
(Ⅰ)求函数f
3
(x)的极值;
(Ⅱ)判断函数f
n
(x)在区间
(
n
,
n+1
)
上零点的个数,并给予证明.
答案
(Ⅰ)∵
f
3
(x)=
x
3
-3x-1
,∴
f
3
′
(x)=3
x
2
-3
,
∵当x>1时,
f
3
′
(x)>0
;当0<x<1时,
f
3
′
(x)<0
.
∴当x=1时,f
3
(x)取得极小值-3,无极大值;
(Ⅱ)函数f
n
(x)在区间
(
n
,
n+1
)
上有且只有一个零点.
证明:
∵
f
n
(
n
)=(
n
)
3
-n
n
-1=-1<0
,
f
n
(
n+1
)=(
n+1
)
3
-n
n+1
-1=
n+1
-1>0
,
f
n
(
n
)•
f
n
(
n+1
)<0
,∴函数f
n
(x)在区间
(
n
,
n+1
)
上必定存在零点.
∵
f
n
′
(x)=3
x
2
-n
,∴当
x∈(
n
,
n+1
)
时,
f
n
′
(x)>3(
n
)
2
-n=2n>0
,
∴f
n
(x)在区间
(
n
,
n+1
)
上单调递增,
∴函数f
n
(x)在区间
(
n
,
n+1
)
上的零点最多一个.
综上知:函数f
n
(x)在区间
(
n
,
n+1
)
上存在唯一零点.
举一反三
已知函数f(x)=|x+a|.
(Ⅰ)当a=-1时,求不等式f(x)≥|x+1|+1的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)<2存在实数解,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴.已知曲线C
1
的极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C
2
的参数方程为
x=2+tcosα
y=
3
+tsinα
(其中t为参数,α为字母常数且α∈[0,π))
(1)求曲线C
1
的直角坐标方程和曲线C
2
的普通方程;
(2)当曲线C
1
和曲线C
2
没有公共点时,求α的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
2x-1(x≤0)
f(x-1)+1(x>0)
,把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前n项的和S
n
,则S
10
=( )
A.45
B.55
C.2
10
-1
D.2
9
-1
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数f(x)=log
2
x+2x-1的零点必落在区间( )
A.(
1
8
,
1
4
)
B.(
1
4
,
1
2
)
C.(
1
2
,1)
D.(1,2)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知a>b>c,a+b+c=0,方程ax
2
+bx+c=0的两个实数根为x
1
,x
2
,
(1)求
b
a
的取值范围;
(2)若
x
21
+
x
1
x
2
+
x
22
=1
,求
x
21
-
x
1
x
2
+
x
22
的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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