已知数列{an}是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是Sn，S11≥0，S12＜0，Sn的最大值是S，函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对
题型：填空题难度：简单来源：不详
| 已知数列{an}是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是Sn，S11≥0，S12＜0，Sn的最大值是S，函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立，且y=f（x） 的所有零点和恰好为S，则y=f（x）的零点的个数为______． |
答案
设数列{an}的公差为d，则d∈Z
∵S11=11•a6≥0，
∴a6=a1+5d=15+5d≥0，
解得d≥-3…①
又∵S12=•12=•12=180+66d＜0，
解得d＜-…②
由①②得d=-3
则Sn=-n2+n
则当n=5或n=6时，Sn的最大值是S=45
∵函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称
即函数y=f（x）所有零点的平均数为3
又∵y=f（x） 的所有零点和恰好为S=45
∴y=f（x）的零点共有=15个
故答案为：15 |
举一反三
已知函数f(x)=x+(a∈R），g（x）=lnx
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程=x•[f(x)-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值． |
已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+-x2-2ax（a≥0）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-时，方程f(1-x)=+有实根，求实数b的最大值． |
| 若函数y=()|1-x|+m的图象存在有零点，则m的取值范围是 ______． |
| 已知函数f(x)=2sin(ωx-)(ω＞0)，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则满足不等式f(x+)＞0的x取值范围是______． |
| 函数f（x）=2x-5的零点所在区间为[m，m+1]（m∈N），则m=______． |
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